2027학년도 수원대 대비 이과용 수학모의고사 9회 해설집

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📢 [실전모의고사] 2027학년도 수원대 대비 이과용 수학모의고사 9회 해설집 (제9회 · 심화 수준 (난이도: 상)) (아카데미·선생님 전용 공식 검수 완결본)

QUESTIO ESSAY SERIES

2027학년도 수원대학교 교과논술 실전 대비

2027학년도 수원대 대비
이과용 수학모의고사 9회 해설집

수원대학교 (이과용 · 자연계열 A·B형 수학)

제9회 · 심화 수준 (난이도: 상) · 수학 I·II 10문항 완벽 수록
단계별 모범답안 · 공식 채점기준 및 부분 배점(10점 만점) 수록

편저: QUESTIO 수리논술 입시연구소
감수: 아카데미·선생님 전용 QAH 품질검증위원회

2027 ACADEMIC YEAR EDITION

수학 I 거듭제곱근의 실근의 개수 난이도: 상 (심화 수준) 배점: 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.19 탐구 9091 변형 | 성취기준: 12대수01-03]

[문제] \(2\le n\le8\)인 자연수 \(n\)에 대하여 \(x\)에 대한 방정식 \(x^n=n-5\)의 실근의 개수를 \(f(n)\)이라 할 때, \(\displaystyle\sum_{n=2}^{8}f(n)\)의 값을 구하는 과정을 논술하시오.

💡 상세해설 및 모범답안

1) \(n\)이 홀수이면 실근은 항상 \(1\)개이고, \(n\)이 짝수이면 \(n-5\gt0\)일 때 \(2\)개, \(=0\)일 때 \(1\)개, \(\lt0\)일 때 \(0\)개이다.
2) \(f(2)=0, f(3)=1, f(4)=0, f(5)=1, f(6)=2, f(7)=1, f(8)=2\)이다.
3) 합은 \(7\)이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
홀짝에 따른 분류	4점
각 값 계산	3점
합 \(7\)	3점

수학 I 로그의 성질과 자연수 순서쌍 난이도: 상 (심화 수준) 배점: 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch01_01) PDF p.20 탐구 9092 변형 | 성취기준: 12대수01-03]

[문제] 자연수 \(a, b\)가 \(\log_2a+\log_2b=4\)를 만족시킬 때, 순서쌍 \((a, b)\)의 개수와 그중 \(a\ne1\)이고 \(\log_ab\)가 정수인 순서쌍의 개수를 구하는 과정을 논술하시오.

💡 상세해설 및 모범답안

1) \(\log_2ab=4\)이므로 \(ab=16\), 순서쌍은 \((1,16),(2,8),(4,4),(8,2),(16,1)\)의 \(5\)개이다.
2) \(a\ne1\)인 경우 \(\log_28=3,\ \log_44=1,\ \log_82=\frac13,\ \log_{16}1=0\)이다.
3) 정수인 것은 \((2,8),(4,4),(16,1)\)의 \(3\)개이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
\(ab=16\) 순서쌍 5개	4점
각 로그값 계산	3점
\(3\)개	3점

수학 I 삼각부등식이 항상 성립할 조건 난이도: 상 (심화 수준) 배점: 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.23 탐구 9093 변형 | 성취기준: 12대수02-01]

[문제] 모든 실수 \(x\)에 대하여 부등식 \(\sin^2x-2a\sin x+2a+3\gt0\)이 성립하도록 하는 실수 \(a\)의 값의 범위를 구하는 과정을 논술하시오.

💡 상세해설 및 모범답안

1) \(\sin x=t\,(-1\le t\le1)\), \(g(t)=t^2-2at+2a+3\)의 최솟값이 양수이면 된다. 축은 \(t=a\)이다.
2) (i) \(a\le-1\): \(g(-1)=4a+4\gt0\)이면 \(a\gt-1\)이므로 불가. (ii) \(-1\lt a\lt1\): \(g(a)=-a^2+2a+3=-(a-3)(a+1)\gt0\)이 성립. (iii) \(a\ge1\): \(g(1)=4\gt0\) 성립.
3) 따라서 \(a\gt-1\)이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
치환과 범위	3점
축 위치에 따른 3가지 경우	4점
\(a\gt-1\)	3점

수학 I 삼각형의 넓이의 최댓값 난이도: 상 (심화 수준) 배점: 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch02_01) PDF p.24 탐구 9094 변형 | 성취기준: 12대수02-01]

[문제] 삼각형 \(\mathrm{ABC}\)에서 \(\angle A=\dfrac{\pi}{3}\), \(\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{AC}}=10\)일 때, 넓이의 최댓값과 그때의 \(\overline{\mathrm{BC}}\)의 길이를 구하는 과정을 논술하시오.

💡 상세해설 및 모범답안

1) \(\overline{\mathrm{AB}}=x\)라 하면 넓이는 \(S=\dfrac12x(10-x)\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{4}x(10-x)\)이다.
2) \(x(10-x)\)는 \(x=5\)에서 최대 \(25\)이므로 최댓값은 \(\dfrac{25\sqrt3}{4}\)이다.
3) 이때 코사인법칙에 의하여 \(\overline{\mathrm{BC}}^2=25+25-25=25\), \(\overline{\mathrm{BC}}=5\)이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
넓이 식	4점
최댓값	3점
\(\overline{BC}=5\)	3점

수학 I 귀납적으로 정의된 수열의 일반항 난이도: 상 (심화 수준) 배점: 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: ALG_Ch03_03) PDF p.9 탐구 9095 변형 | 성취기준: 12대수03-04]

[문제] 수열 \(\{a_n\}\)이 \(a_1=2,\ a_{n+1}=a_n+3n\)을 만족시킬 때, \(a_{10}\)의 값과 \(a_n\gt100\)을 만족시키는 자연수 \(n\)의 최솟값을 구하는 과정을 논술하시오.

💡 상세해설 및 모범답안

1) \(a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}3k=2+\frac{3n(n-1)}{2}\)이다.
2) \(a_{10}=2+135=137\)이다.
3) \(\dfrac{3n(n-1)}{2}\gt98\)에서 \(n=8\)이면 \(84\), \(n=9\)이면 \(108\)이므로 최솟값은 \(9\)이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
일반항	4점
\(a_{10}=137\)	3점
최솟값 \(9\)	3점

수학 II 다항함수의 결정과 극한 난이도: 상 (심화 수준) 배점: 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch01) PDF p.18 탐구 9096 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-01-02]

[문제] 다항함수 \(f(x)\)가 \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)-x^3}{x^2}=2,\ \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=-3\)을 만족시킬 때, \(f(2)\)의 값을 구하는 과정을 논술하시오.

💡 상세해설 및 모범답안

1) 첫 조건에서 \(f(x)-x^3\)은 최고차항의 계수가 \(2\)인 이차식이므로 \(f(x)=x^3+2x^2+ax+b\)이다.
2) 둘째 조건에서 \(f(0)=b=0\)이고 \(\dfrac{f(x)}{x}=x^2+2x+a\to a=-3\)이다.
3) \(f(x)=x^3+2x^2-3x\)이므로 \(f(2)=10\)이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
차수와 꼴 결정	4점
\(a, b\) 결정	3점
\(f(2)=10\)	3점

수학 II 삼차함수가 극값을 갖지 않을 조건 난이도: 상 (심화 수준) 배점: 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.39 탐구 9097 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07]

[문제] 함수 \(f(x)=x^3+ax^2+3x+1\)이 극값을 갖지 않도록 하는 정수 \(a\)의 개수를 구하는 과정을 논술하시오.

💡 상세해설 및 모범답안

1) 극값을 갖지 않으려면 \(f'(x)=3x^2+2ax+3\)의 부호가 바뀌지 않아야 한다.
2) 판별식 \(\dfrac D4=a^2-9\le0\)이므로 \(-3\le a\le3\)이다.
3) 정수 \(a\)는 \(7\)개이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
부호 불변 조건	4점
판별식	3점
\(7\)개	3점

수학 II 삼차방정식의 실근의 개수 난이도: 상 (심화 수준) 배점: 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch02) PDF p.40 탐구 9098 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-02-07]

[문제] 방정식 \(x^3-3x^2-9x-k=0\)이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 정수 \(k\)의 개수와, 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 \(k\)의 값을 모두 구하는 과정을 논술하시오.

💡 상세해설 및 모범답안

1) \(g(x)=x^3-3x^2-9x\)라 하면 \(g'(x)=3(x+1)(x-3)\), 극댓값 \(g(-1)=5\), 극솟값 \(g(3)=-27\)이다.
2) 직선 \(y=k\)와 세 점에서 만나려면 \(-27\lt k\lt5\)이므로 정수 \(k\)는 \(31\)개이다.
3) 두 점에서 만나려면 \(k=5\) 또는 \(k=-27\)이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
극값 계산	4점
세 실근: 31개	3점
두 실근: \(5, -27\)	3점

수학 II 우함수·기함수의 정적분 난이도: 상 (심화 수준) 배점: 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.37 탐구 9099 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]

[문제] 정적분 \(\displaystyle\int_{-2}^{2}(x^3+3x^2-2x+1)\,dx\)의 값을 구하고, \(\displaystyle\int_{-a}^{a}(x^5+x^2)\,dx=18\)을 만족시키는 양수 \(a\)의 값을 구하는 과정을 논술하시오.

💡 상세해설 및 모범답안

1) 기함수 부분 \(x^3-2x\)의 적분은 \(0\)이므로 \(2\displaystyle\int_0^2(3x^2+1)\,dx=2(8+2)=20\)이다.
2) 마찬가지로 \(\displaystyle\int_{-a}^{a}(x^5+x^2)\,dx=2\int_0^a x^2\,dx=\frac{2a^3}{3}\)이다.
3) \(\dfrac{2a^3}{3}=18\)에서 \(a=3\)이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
기함수 소거와 값 \(20\)	4점
\(\frac{2a^3}{3}\)	3점
\(a=3\)	3점

수학 II 두 곡선으로 둘러싸인 넓이 난이도: 상 (심화 수준) 배점: 10점

[출처: 교과서 DB 연계 (DB: CAL1_Ch03) PDF p.38 탐구 9100 변형 | 성취기준: 12미적Ⅰ-03-05]

[문제] 곡선 \(y=x^3\)과 직선 \(y=4x\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 과정을 논술하시오.

💡 상세해설 및 모범답안

1) \(x^3=4x\)에서 \(x=-2, 0, 2\)이다.
2) 두 함수의 차 \(4x-x^3\)은 기함수이므로 두 부분의 넓이는 같다.
3) 넓이는 \(2\displaystyle\int_0^2(4x-x^3)\,dx=2(8-4)=8\)이다.

🎯 채점기준 및 배점:

평가 단계 및 핵심 서술 요소	부분 배점
교점	3점
대칭성	3점
넓이 \(8\)	4점

📝 [제9회 이과용 · 수학 1번 문항]

📝 [제9회 이과용 · 수학 2번 문항]

📝 [제9회 이과용 · 수학 3번 문항]

📝 [제9회 이과용 · 수학 4번 문항]

📝 [제9회 이과용 · 수학 5번 문항]

📝 [제9회 이과용 · 수학 6번 문항]

📝 [제9회 이과용 · 수학 7번 문항]

📝 [제9회 이과용 · 수학 8번 문항]

📝 [제9회 이과용 · 수학 9번 문항]

📝 [제9회 이과용 · 수학 10번 문항]